第一题45分】

设n为正整数，a?,a?,…,an为实数，满足∑{i=1}n ai = 0且∑{i=1}n ai2 = 1。

江辰看完题干，脑子里瞬间跳出三种解法。

解法二：转化成二次函数最值问题，用判別式。

解法三：用拉格朗日乘数法虽然超纲，但简洁。

他选了第一种，提笔就写。

江辰停笔，重新看题。

哦，看错了。

那更简单了。

“这是关於x的二次函数，开口向上，最小值为1当x=0时。”

江辰皱了皱眉。

这题有问题？

他仔细再读一遍题干。

然后他明白了。

“原来如此，是我理解错了。是实数，可正可负。

“这不是恆成立的，因为x可以取0。所以题目隱含了x的取值范围？不对，题目说对任意实数x』，那这不等式就不成立。”

江辰陷入沉思。

三秒后，他反应过来。

“操，被出题人套路了。”

“这题的正確理解是：要证的是存在某个与{ai}无关的常数c，使得∑(aix)2 c对任意x和任意满足条件的{ai}成立，然后求c的最大值。”

想通了这一点，江辰笑了。

“出题人有点东西啊，还玩文字游戏。”

他提笔，重新写：

江辰摇了摇头。

“妈的，这题比我想像的麻烦。”

不过也只是“麻烦”，不是“难”。

他换了个思路。

“直接用拉格朗日乘数法吧，虽然超纲，但管他呢。”

“代入约束解λ,μ，最后得最坏情况下∑(aix)2 = n/(n1)”

三分钟，密密麻麻写了一整页。

写完，江辰鬆了口气。

“搞定。”

他看了眼时间：9:43。

讲台上，监考老师刘月一直在盯著江辰。

看到江辰三分钟就写完第一题，她眼珠子都快瞪出来了。

“这这怎么可能？”

她忍不住走下讲台，假装巡视，走到江辰身后。

然后她看到了江辰的答案。

从最初的错误理解，到重新分析，再到用拉格朗日乘数法完整求解

步骤严谨，逻辑清晰。

而且全对。

刘月感觉自己的世界观受到了衝击。

这可是二试第一题啊！

45分的大题！

往年这种题，顶尖学神也要花二三十分钟才能做完。

这个江辰三分钟？

还用了大学数学的方法？

她深吸一口气，强迫自己冷静，继续看江辰做第二题。

第二题45分】

设s是平面上有限个点的集合，其中任意三点不共线。称一个“风箏”是由四个点a,b,c,ds组成的四边形，满足ab=ad且cb=cd即两组邻边分別相等。证明：如果s中任意四个点都能构成一个风箏，则s的所有点共圆。】

江辰看完题，愣了一下。

“风箏四边形共圆”

他脑子里瞬间闪过好几个几何定理。

“这不是显然的吗？”

他提笔就写：

“证：取s中任意两点a,b，由条件，对任意另外两点c,ds{a,b}，四边形abcd是风箏。”

“特別地，取c为s中异於a,b的任意一点，则存在d可能与c重合？

“但条件说任意四个点都能构成一个风箏』，这意味著对任意四点，其中某两个作为肩点』等邻边的公共端点，另外两个作为翼点』。”

“考虑任意三点a,b,c，由条件存在d使ab=ad且cb=cd，即d在ab的中垂线和bc的中垂线交点上，故d是△abc外心？不对，外心是三条中垂线交点，这里只用到两条”

“等等，这题需要仔细分析结构。”

江辰停笔，思考了几秒。

“任意四点都能构成风箏，意味著对任意四点，其中两点是某等腰三角形的顶点，另外两点是另一个等腰三角形的顶点，且这两个等腰三角形共用底边？不对，风箏是四边形，两组等邻边。”

“设四点a,b,c,d，风箏结构有两种可能：要么a、c是肩点』ab=ad, cb=cd，要么b、d是肩点』ba=bc, da=dc。”

“由任意性，对任意三点a,b,c，考虑第四点d取s中另一点，则四点a,b,c,d构成风箏。是肩点同理。”

“这会导致一系列等量关係”

江辰在草稿纸上画了几个图。

十秒后，他眼睛一亮。

“有了！”

“引理：若任意四点构成风箏，则对任意三点a,b,c，有ab=ac或ba=bc或ca=cb至少一组成立。”

“证明：取第四点d，若a是肩点，则ab=ad且cb=cd，但